积分换元的换限

积分的换元牵涉到换限，总是会迷茫。

做个总结：换元后要保持原来的积分函数不变。

对于积分元变换后，和原积分函数的值要保持不变。需要找出新的积分函数。例如极坐标变换时：

$\iint\limits_{D} f(x,y){\color{red}{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}}= \iint\limits_{D'} f(r\cos \theta,r\sin \theta)\color{red}{r\mathrm{d}\theta }\color{blue}{\mathrm{d}r}$

对应的多出了个 $r$ 就是要保证两个积分函数在不同积分元情况下等值。

换限：即保证积分区域也要一致。

换限通过画一个坐标系比较直观：例如在概率论中多维随机变量的分布：$F_{Y/X}(z)=P\{Y/X\le z\}$

$=\iint_{y/x\le z,x<0}f(x,y)dydx+\iint_{y/x\le z,x>0}f(x,y)dydx$

$=\int_{-\infty}^0\left [\int_{zx}^{\infty}f(x,y)dy\right ]dx+\int_{0}^{\infty}\left [\int_{-\infty}^{zx}f(x,y)dy\right ]dx$

令$y=xu$，则：$dy=xdu$，代入得： $f(x,y)dy=f(x,xu)xdu\ ~~~(1)$。此部分更换后不变。

再看积分限：因$dy$变成$du$，直观来说“变换的幅度有区别了”，在下图中来看：

原$y$的积分限是图中阴影位置，$y$在$zx$这条线上方和下方阴影区域，更换积分元后，$u$ 的变化范围如果不变，把 $zx$ 代入式(1)：

$f(x,zx)dy=f(x,xzx)xdu$

明显看到在最大值/最小值时是明显不相等的。所以就不能是原来的$zx$ 作为上下限。原积分限的无穷通过加减乘除一个固定数，依然是无穷，所以无变化。原$dy$ 积到的最大/最小值$zx$，换成$du$ 后，就是$u$ 变成什么，使得$y$ 还是积到最大/最小值$zx$ ，

明显是：$zx=zu$，保证了积分区域不变

所以则$u$变成$z$就保证了不变，第一个函数中原$y$上限是正无穷，变化为$u$后，因$x<0$, 所以$u$也必须小于0，才能保证是正无穷。第二个函数中$x>0$，不受影响，所以最终换元后的函数：

$=\int_{-\infty}^0\left [\int_{z}^{-\infty}f(x,xu)xdu\right ]dx+\int_{0}^{\infty}\left [\int_{-\infty}^{z}f(x,xu)xdu\right ]dx$

再看$F_{X+Y}(z)=P\{X+Y\le z\}$的分布函数：$\int_{-\infty}^\infty\left [\int^{z-y}_{-\infty}f(x,y)dx\right ]dy$

令$x=u-y$，积分函数$x, u$的变化幅度是相同的$dx=du$，所以：$f(x,y)dx=f(u-y,y)du$

再看积分限：当$y$固定后，原$x$的积分范围是由$-\infty$到$z-y$，现在积分元为$u$，无穷减去一个确定数依然是无穷，不变；上限$z-y$，要保证x换成$u$后，原x的上限不变，$z-y=u-y$，则$u$的上限变成$z$保证了和原$x$ 的积分范围相同。所以：

$\int_{-\infty}^\infty\left [\int^{z}_{-\infty}f(u-y,y)du\right ]dy$